Bartók en de gulden snede.                 articles               home                                                                                               © Daan Admiraal, 2005                    

 

De Hongaarse onderzoeker Ernő Lendvai heeft zich beziggehouden met het voorkomen van de gulden snede als tijdsverhouding in de vorm van de werken van Bartók en daarover gepubliceerd in een uitgebreid artikel ¹.

 

De gulden snede werd in de schilderkunst veel gebruikt als ordenend element in de compositie. Men spreekt van een gulden snede als een afstand zodanig in twee ongelijke delen wordt verdeeld dat de verhouding van het kleinste tot het grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het geheel:                                                                  

Voor bovenstaand voorbeeld geldt  13 : 21 = 21 : 34 = circa 0,618.        

De verhouding volgens de gulden snede is ook aanwezig in de zogenaamde fibonaccische getallenreeks, waarin elk nieuw getal de som is van de twee voorafgaande getallen.

2 : 3 : 5 : 8 : 13 : 21 : 34 : 55 : 89 :  (2+3=5 / 3+5=8 / 5+8=13 etc.)

Naarmate de getallen groter zijn wordt de verhouding 0,618 steeds nauwkeuriger bereikt.

Om bij muziek deze verhouding vast te stellen moet je exact meten. Fermates, ritenuto en accellerando maken exact meten onmogelijk: de tijdsduur daarvan kan in diverse uitvoeringen aanzienlijk verschillen. In feite kun je de compositie dan niet exact meten maar meet je alleen de uitvoering.

Lichtgelovigen zijn gewaarschuwd: bij maatwisselingen kan de maat niet als eenheid genomen worden. Lendvai beseft deze moeilijkheid terdege als hij schrijft (p.118): 'der wechselnden Taktordnung wegen ist die Taktzahl nicht maßgebend.' Gemeten moet worden met de kleinste ritmische eenheid van alle maten, zoals hij dat ook terecht doet door middel van de trioolachtste in het Divertimento voor strijkorkest.

 

Op dezelfde bladzijde waarin Lendvai de correcte meetmethode vaststelt komt hij met een voorbeeld uit de Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta. Laten we hem letterlijk citeren (p.118, 119):

 

89
55		34
34	21	13	21
positiv		negativ

             Abb.14, p.119 uit Béla Bartók. Weg und Werk. Bartók, Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta, deel I, de secties in maten (Lendvai).

 

'Vergleichen wir diese Zahlenreihe mit den Proportionen des Fugensatzes der Musik. Der Satz erreicht durch allmähliche Steigerung aus dem Pianissimo den Siedepunkt (forte-fortissimo) und fällt dann stufenweise in das piano-pianissimo zurück. Die 89 Takte des Satzes werden durch die Kulmination in 55+34taktige Glieder geteilt (vgl.obige Zahlenreihe; die 88 Takte der Partitur müssen wir nach dem Muster der Bülowschen Beethoven-Analysen um einen pausierten Takt ergänzen).'

 

Laten we voordat we verder gaan met Lendvai's betoog eerst even de partituur er bij nemen (Universal Edition 10815) en zijn metingen controleren.

Het eerste deel bestaat uit 88 maten. Lendvai wilde daar kennelijk graag 89 maten van maken omdat dat aantal maten dan zo mooi overeenstemt met het getal 89 uit de hierboven aangegeven Fibonaccische getallenreeks. Hij begint dus meteen al met het vervalsen van zijn metingen door uit te gaan van 1 door Bartók niet opgeschreven maat en die mee te tellen. Ik voorspel een volksopstand als automobilisten aan de pomp per tankbeurt één extra liter niet geleverde benzine moeten betalen. Waarom mag Lendvai die niet bestaande maat meetellen? Omdat 'Hans von Bülow dat ook bij Beethoven deed' (iets waarover wij Hans von Bülow graag wat kritische vragen zouden willen stellen).

Na dit eerste bedrog komt een veel groter tweede bedrog als blijkt dat het hele betoog van Ernő Lendvai gebaseerd is op de verhouding van aantallen maten, terwijl hij ons zojuist terecht heeft geleerd dat je dat bij wisselende maatsoorten niet mag doen omdat  der wechselnden Taktordnung wegen die Taktzahl nicht maßgebend ist. En juist het eerste deel van de Muziek is een klassiek voorbeeld van een wechselnde Taktordnung. Bartok gebruikt hier 8 verschillende maatsoorten:

5/8, 6/8, 7/8, 8/8, 9/8, 10/8,11/8 en 12/8.

Ernő Lendvai heeft niet alleen het aantal van 88 maten gecorrumpeerd door er een niet bestaande 89ste 'von Bülowsche' maat bij te tellen, hij rekent ons daarna, en tegen beter weten in, de gulden snede voor door die 8 verschillende lengte-eenheden te behandelen alsof er sprake zou zijn van 1 eenheid. Hoe zou de wereldkaart er uit zien als cartografen zouden meten in centimeters, inches, duimen, palms, Engelse en Amerikaanse voeten, yards, vadems en zeemijlen, parasangen, stadiën, Rijnlandse roedes, nanometers en lichtsecondes en die als gelijkwaardig lengte-eenheden zouden beschouwen?

 

Vaak wordt de gulden snede in het werk van Bartók genoemd onder verwijzing naar de onderzoekingen van Ernő Lendvai.

Zijn corrupte metingen zijn onder andere door de gerenommeerde muziekuitgeverij Bärenreiter gepubliceerd in een overigens zeer lezenswaardig boek met artikelen over Béla Bartók. Het daarin opgenomen artikel van Lendvai bevat een aantal interessante en inzichtbevorderende analyses van het harmonische systeem van Bartók en de structuur van zijn melodieën en akkoorden. Het is jammer dat het zo ernstig wordt ontsierd door deze blunder over de gulden snede. 

 

Laten we aan het einde van dit artikel de hierboven besproken verhoudingen in de Muziek op basis van de kleinste eenheid met de rekenmachine narekenen om de omvang van de meetfouten van Lendvai vast te stellen.

 

Tabel A.

Abb.14, p.119 uit Béla Bartók. Weg und Werk.

Bartók, Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta, deel I, de secties in maten (Lendvai):

   

Tabel B.

Bartok, Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta, deel I, dezelfde secties omgerekend in achtstenoten

(Admiraal):                    

Tabel C.

De verhoudingen van tabel B eerst omgezet in decimale breuken en daarna vergeleken met de gulden snede (Admiraal):

Conclusie.

De claim van Ernő Lendvai dat er in het eerste deel van de Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celestabij van Béla Bartók in de verhoudingen van de vormdelen qua tijdsduur sprake zou zijn van een gulden snede is gebaseerd op corrupte rekenmethodes. Als we van de door hem vastgestelde 7 vormdelen in de Muziek de 6 tijdsduurverhoudingen narekenen blijken de afwijkingen ten opzichte van de gulden snede uiteen te lopen van -20,551% tot +8,414%. De claim dat hier sprake is van de gulden snede mist daarom elke rekenkundige onderbouwing.

 

1. Einführung in die Formen- und Harmonienwelt Bartóks, artikel van Ernő Lendvai in Béla Bartók. Weg und Werk, 1957 Corvina verlag Budapest; 1972 Bärenreiter Kassel. ISBN 3-7618-0244-7.